druid169

算法与数学之美

2018-12-01 21:00  



＂美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育，而给予热爱数学的学生最高水平的数学教育。＂

长久以来，中国人的迷思就是，为何「美国人数学这么差，还能出这么多牛逼科学家？」这个问题的答案已经被答烂了，我结合自身的经历，系统地给大家科普一下！

首先，先说「美国给予不热爱数学的学生最基础的数学教育」。

美国的每个地区，对于，比如，高中毕业的学生，应该有何种的数学修养，大多是有硬性规定的。比如麻省，每年对特定几个年级的学生有统考，这个统考的主要内容之一就是数学，数学不过关的，高中是不允许你毕业的。所以基本上每间正规高中，也都对数学水平有最基本的要求才准毕业。据我所知，这个标准大概在会运算简单的三角函数就可以了。 这个水平，以咱们大天朝的标准来看，确实不算高，而且很多人还都是勉强混过去的。（高中课很松。。。）

这种低要求的直接结果就是，美帝99%的学生（99%这个数字并不夸张，可能更高）的数学都停留在生活勉强可以自理的水平上。

好了，到了说「给热爱数学的学生最高水平的数学教育」的部分了。

以高中为例，对于一些数学比较好的不安分分子，为了安抚他们，不给社会添麻烦，学校（不是每间学校都有这个条件）会提供 Advanced Placement 课程，也就是宅男们喜闻乐见的 AP课程。以数学为例，高中最高级的 AP课程，叫做 BC微积分，2005年我上高中的时候，课本是下面这个：



我们的任务则是把这本书，从头到尾学得通通透透。值得注意的是，只要你前面的课程成绩都好，你几年级修这个课是没有限制的，我上学时班上最年轻的同学是一位俄裔美国人，他修此门课程时才上十年级（相当于我们高一），他最后这门课的成绩是 A  ，在我们学校，意味着每次考试的成绩，都在95分以上，实在是学校公害。（这位大哥后来去了宾夕法尼亚大学读 Material Science －材料科学。。。）

这本书的内容，大家都可以查到，人家高一就学这个，你们各位自诩为学霸的，颤抖了吗？基本上到学矢量微积分之前，学完了这本书，你做微积分已经应已如四则运算般自如。

我作为一名合格的宅男，还选修了 AP物理，我们的课本是这个：



有兴趣的同学，也可以查查这本书的深度如何。

教材不是统一的，AP的任课老师可根据自己喜好选择教材。另外老师会推荐一些课外读物，供不安分的宅男们消耗能量。

AP课修了一整年以后，就可以报考全国的 AP统考了。 AP Exam 统考的难度，个人觉得数学比较简单，物理则很难。。。当然也可能因为我抽象思维能力太差了。。。即便这样，小弟我全考了个5分也是没有压力的。（满分5分）

说到这就差不多了，中心思想和开始提到的一样，可能论数学物理的平均水平，美国学生确实远远不如中国学生，但是谈到「给天才 / 有兴趣的人的教育」时，中国的教育制度，则还停留在解放前。而到了大学，这个差距就越拉越大，到了研究生阶段，没有鄙视国内读研读博的盆友们的意思，但与美国的「高高等」教育相比，真的无法相提并论。国内的院校，资金条件，师资条件和科研硬件条件，都比发达国家相差太远了。

这样的制度，从侧面看，很大一个好处就是，年轻人可以把多余的时间和精力，专注到自己喜欢做的事情上。很多比较聪明的宅男，高中最后一年基本没有什么数理课程了（全提前学完了），学学哲学，历史，艺术，玩玩乐团，体育，对成长都有帮助。前面那位俄裔学霸，还是该地区的长跑冠军，真是令人厌恶。

另外一个好处就是，学霸们可以和学霸们在一起玩一起上课一起耍，不要小看这些宅男们，学霸们聚在一起的能量们是很大的，你没发现，在你们现在打工的地方，老板们年轻时都是学霸吗？

再说说小学数学吧。

说起来，我们想到的可能会是那个经典 “一个水池，进水出水，以什么样的速度来保证水池怎样怎样之类的” 大概这些吧，也就是我们所说的应用题。或是前段时间在微博上看到的一个小女孩背乘法口诀表里面的3*5 15，背到哭了。真是让人觉得小萝莉可爱的同时也不得不说，都是过来人，看谁笑话呢。哈哈。不过，言归正传，我们所学的数学，很多都是通过套用公式来一遍又一遍的做题来证明公式的正确性。可是美国小学的数学不一样。

他们通常都是学数学为了来解决问题吧，会套用在实际的生活中去学习。比方说，今天学习数字3。一个消防员站在一棵高高的树下，树上有两只小猫被困在上面下不来，消防员要去救小猫，怎么救。首先选一下可以使用的工具，灭火器？捕蝴蝶的网？还是梯子？因为树高要用梯子，好，几个梯子才能够到？一个不行，两个，三个呢？大家大可不必去纠结这三个梯子拼起来怎么安全，不是消防车都是自动的等等问题，因我们的“小明和小朋从两个地方出发，以同样的速度，走多多路，后面balabala" 的情景这些，也未见得就不是童话故事，然后我们长大后发现童话里都是骗人的，因为没人会这样无聊到去做这事。

再引用一个朋友孩子的例子。他儿子上3年级，以我们的眼光粗粗来看，他们学的是：

1）10以内的加减法

2）1000以内数字的读写

这是什么级别？好像现在幼儿园中班就已经教这个了 ！

但我朋友花了3小时教材，越看越汗，还特地总结了一下他们教的我们没教的：

1）同样从1数到10再11，我们是单纯的数，数到10,100,1000；但他们数到11后，开始讲进位、十进制，开始引入二进制、五进制等；

2）讲10以内的数字，区分数字的用途，同样是数字3，可以是3个房间，第3间房，房间长3米，他们有什么不同？

3）在数字的用途一节后需要写paper：我们说华盛顿有人口3，454,456（数字是我随便编的），这个数字是精确的嘛？还是估算的？为什么？怎么证明？

4）有一些逻辑题目，类似于“教授的隔壁是医生 医生喜欢蓝色” 这种问题，我们孩子是从小作为智力题目来做的，他们则介绍了只需要用到1-10这几个数字的表格，介绍如何将这些条件填入表格，最后如何出答案。

其实还有更多....

总体感觉这个的教材：

1）强调数学的基本概念

2）强调逻辑思维

同样是逻辑问题，我们一直强调的是用脑子解决，会的就真是个聪明的孩子，不会就你怎么这么笨。而他们从小就拿出来，教孩子用工具解决。国人一向号称自己是最聪明的民族，但创新实力却很弱，我相信我观察到的这一点是原因之一。

3）细致

我们长大后，看老外的文档，事无巨细，是不是特别佩服？可为什么我们从来没有耐心看下去，写出来呢？我想，这就是原因，我们都没有耐心为孩子细致的解剖这个世界，孩子长大后怎么能细心？

总之，美国的教育更注重的是在大学前开阔视野，找你所喜欢的、感兴趣的领域和学科，所以他们一直到高中都有很多自己选修的课程，很多很多课，看似很轻松，学自己喜欢的嘛。当我们经历过那不想回去的高考之后，全都瞬间解压，觉得没什么事做了，开始玩乐，但美国大学生却非常辛苦，学习努力，这不光是因为他们的大学不好毕业，而是，大学时期其实才是真正学习的好时光，术业专攻，之前都在寻找培养兴趣，拓展视野，找到自己的兴趣所在。所以，可见的，他们的数学简单，其实不是简单，只是我们学过的很多数学公式，现在生活中也都不会用到了。

所以说「美国学生学的数学比我们简单」这就是个伪命题，不存在这样的事情。

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随记：我们需要怎样的数学教育？

算法与数学之美

2018-12-21 21:00  

注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。

这个我深有体会。最近两年，我一直在做初中数学培训，有了一些自己的看法。数学教育大致分成三个阶段，看山是山看水是水，看山不是山看水不是水，看山是山看水是水。

最早数学教育就是，教你几个定理，告诉你它们是怎么证的，再让你证明一些新的定理。

后来的要求就变了：光学数学不够，还要用数学。数学教育已经上升了一个层次：大家要把数学用到生活中去，解释生活中的现象。一时间，课本也好，中考题也好，全是与生活实际紧密联系的数学应用题，仿佛放眼望去身边真的处处都是数学一样。商场卖货，书店卖书，农民耕地，工人铺砖，再一次涌现在了课本、教辅书和考试题里。其实，数学可以解释生活，只是我们并不会这样去做。生活的变量太多，再强大的数学模型也不可能考虑到一切。对于平常人来说，真正能用到数学的地方，也就只有算算帐了。

总有一天，数学教育会拔高到第三层：返朴归真，数学真正牛 B 的还是它本身。你会发现，那些伟大的数学思想，那些全新的数学理论，最初研究的动机并不是要急于解释我们身边的某某诡异现象，而是它本身的美妙。线性代数的出现，很大程度上要归功于神奇的 Cramer 悖论；群论的诞生，也是 Galois 研究多项式的解的结构时的产物；Euler 创立图论，源于那个没有任何实用价值的 Königsberg 蛋疼问题；非欧几何的出现，则完全是由于这个问题本身的魅力。微积分呢？它确实有非常广泛的实用价值，物理学的各种定义都依赖于微积分；但很可惜，它不是一种具有颠覆性的数学思想。

初一课本讲负数时，反复说负数的实际意义，比如海拔、得分、温度、收支等等，把负数变成一种真实的存在。其实，这不是人们使用负数的主要动机。负数的价值在于，它可以把减去一个数变成加上一个负数，很多加加减减复杂到甚至需要分类讨论的东西都能够用一个式子统一在一起了。比如说小学的盈亏问题：如果每人分 3 个苹果还多 8 个，如果每人分 5 个苹果则还多 2 个，问有多少人多少苹果？解法是，两种分法多出来的苹果相差 6 个，这是每个人多分了两个苹果引起的，因此一共 3 个人，从而可以算出有 17 个苹果。但是，如果把问题改成“每人分 3 个就多 8 个，每人分 5 个就少 2 个”该怎么办？上面的公式就变了，8 不能减 2，要加 2 。因此，小学讲盈亏问题会分“盈亏”、“盈盈”、“亏亏”三种情况讨论。其实，如果把“少 2 个”理解成“多 -2 个”，问题是一模一样的，之前的公式同样适用。负数这一新思想立即把三种情况统一在了一起，它们的本质变得一模一样了。

这是我给初一学生讲负数时必讲的例子。这才是负数的意义。这才是课本里应该反复举例强调的。

某次看到论坛里有人问，群论有什么意思啊？某人回复，群论很有意思啊，只是课本把它写得没意思了，比方说，讲群论怎么能不讲魔方呢？我不赞同这个回复。数学吸引人的地方，不在于它在生活中的应用，而在于它本身的美。为什么不讲 Lagrange 定理？为什么不讲 Sylow 定理？对于我来说，最能吸引我学习一个数学课题的，莫过于一系列非平凡的结论以及它的精彩证明了。

科幻小说《伤心者》的末尾列举了很多长期以来未得到实际应用的数学理论，不过却没有说到一个更为极端的例子。数学中的皇冠——数论——2000 年来一直没有任何实际应用，是最纯粹的数学。直到计算机，尤其是现代密码学的出现，才让数论第一次走出数学，走进了人们的生活中。是什么在支持数论的研究呢？只能是数学本身了。

在我给初中孩子出几何题时，我都尝试着给出一般性的问题，求证三角形中两边的平均长度大于第三边上的中线长，求证三角形三条高的倒数和等于内切圆半径的倒数，等等。即使是纯代数问题和解析几何问题，我也总能编出题目描述简单并且极具挑战性的问题。两数的和与积相等共有多少个整数解？把直线 y=x 沿 y=2x 翻折后得到的直线方程是什么？在感受结论之美的同时，他们也会因自己独立解决了一个真正的数学问题而激动。

然而，这还不算教育的主要问题。某次与一个数学专业的同学聊到 Riemann 假设时，对方说她从没听说过 Riemann 假设。我大吃一惊，数学专业的人怎么可能不知道 Riemann 假设呢？随即明白，这也是拜数学教育所赐。翻开数学课本，总是成套的理论体系，先定义再证明，说得头头是道。可是，这些东西都是怎么来的呢？在得出这些东西的过程中，数学家们走了哪些弯路呢？课本上只字不提。课本里从来都只讲什么是对的，却从来不讲什么是错的。数学考试只会让你证明一个结论，从不会让你推翻一个结论。

2010 年江苏高考数学题因为“太难”备受争议。其中最后一道大题如下：已知 △ABC 的三边长都是有理数，(1) 求证 cos(A) 是有理数； (2) 求证对任意正整数 n ， cos(nA) 是有理数。其实这道题是一个非常漂亮的好题，描述简单，问题普遍，结论有趣，证明巧妙，中考题就该这么出。不过我觉得，如果再补上这么一个小问，这道题就真的完美了：证明或推翻， sin(A) 一定是有理数。当然，问题本身并不难，等边三角形就是一个最简单的反例。关键在于，推翻一个结论，寻找一个反例，也是数学研究的一个基本能力，而这是中学数学教育中很少重视的。

于是，在教初中数学时，我布置的每道作业题都无一例外地以“证明或推翻”打头。偶尔，有些题目真的是需要学生们去推翻它。比方说，证明或推翻，周长和面积都相等的两个三角形全等。不同的人找到的反例不一样，有的简单有的复杂，有的深刻有的盲目。再用一整节课的时间逐一讲解并点评大家构造的反例，给孩子们带来的收获远比直接讲题要大得多。

但是，我还没有讲到数学教育中最主要的问题。前段时间去图灵的作译者交流会，期间和刘江老师简单地聊了几句。刘江老师提到一个网站叫做 Better Explained。他说，其实大家没能理解数学之妙，是因为教的时候没教好，数学本来可以讲得更直观，更通俗的。

我非常同意刘江老师的说法。举个例子吧。如果有学生问，质数是什么？老师会说，质数就是除了 1 和自身以外，没有其它约数的数。不对，这不是学生想要的答案。学生真正想知道的是，质数究竟是什么？其实，质数就是不可再分的数，是组成一切自然数的基本元素。 12 是由两个 2 和一个 3 组成的，正如 H2O 是由两个 H 原子和一个 O 原子组成的一样。只是和化学世界不同，算术世界的元素有无穷多个。算术世界内的一切对象、定理和方法，都是由这些基本元素组成的，这才是质数为什么那么重要的原因。

高中学复数时，相信很多人会纳闷儿：虚数是什么？为什么要承认虚数？虚数怎么就表示旋转了？其实，人们建立复数理论，并不是因为人们有时需要处理根号里是负数的情况，而是因为下面这个不可抗拒的理由：如果承认虚数，那么 n 次多项式就会有恰好 n 个根，数系一下子就如同水晶球一般的完美了。但复数并不能形象地反映在数轴上，这不仅是因为实数在数轴上已经完备了，还有另外一个原因：没有什么几何操作连做两次就能实现取相反数。比如，“乘以 3”就代表数轴上的点离原点的距离扩大到原来的三倍，“3 的平方”，也就是“乘以 3 再乘以 3”，就是把上述操作连做两次，即扩大到 9 倍。同样地，“乘以 -1”表示把点翻折到数轴另一侧，“-1 的平方”就会把这个点又翻回来。但是，怎么在数轴上表示“乘以 i ”的操作？换句话说，什么操作连做两次能够把 1 变成 -1 ？一个颇具革命性的创意答案便是，把这个点绕着原点旋转 90 度。转 90 度转两次，自然就跑到数轴的另一侧了。没错，这就把数轴扩展到了整个平面，正好解决了复数没地方表示的问题。于是，复数的乘法可以解释为缩放加旋转，复数本身自然也就有了 z = r (cosθ   sinθi) 的表示方式。顺着这个道理推下去，一切都顺理成章了。复数不但有了几何解释，有时还能更便捷地处理几何问题。

一直对线性代数很感兴趣，于是大学选了线性代数这门课，结果收获几乎为零。原因很简单，本来期待着来一次大彻大悟，结果学了一个学期，我还是不知道矩阵究竟是什么，矩阵乘法为什么要这么定义，矩阵可逆又怎么了，行列式究竟表示什么。

直到今天看到这个网页，才看见有人一语道破线性代数的真谛（这也是我终于决定写成此文的直接原因）。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一样，我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x   y, x – 3 y) 之类的东西，这就叫做线性变换。于是才想到定义矩阵乘法，用于表示一切线性变换。几何上看，把平面上的每个点 (x, y) 都变到 (2 x   y, x – 3 y) 的位置上去，效果就相当于对这个平面进行了一个“线性的拉扯”。



矩阵的乘法，其实就是多个线性变换叠加的效果，它显然满足结合律，但不满足交换律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思，因此它叫做单位矩阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵，就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回去了的意思，难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪，又是什么递归，又是什么逆序对，还编写口诀帮助大家记忆。其实，行列式的真正定义就一句话：每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此，单位矩阵的行列式当然就为 1，某行全为 0 的行列式显然为 0 （因为某一维度会被无视掉，线性变换会把整个平面压扁）， |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ，对应的矩阵当然不可逆，因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了，什么都不能把它变回去了。当然，更高阶的矩阵就对应了更高维的空间。一瞬间，所有东西都解释清楚了。

难以置信的是，如此令人兴奋的东西，我们所用的课本上竟然一点都没有说到！那些开篇就讲行列式定义的课本，为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义，再推导出行列式的计算方法，再来补充说明“其实从逻辑上说，我们应该先用这个计算公式来定义行列式，然后才说行列式可以用来表示面积”？为了严密性而牺牲了可读性，太不值得了。写到这里，我真想立即拾起线性代数课本，用全新的眼光重看所有的定义和定理，然后重新写一份真正的线性代数教材来。

高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数，再讲不定积分，再讲定积分，完全把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分，虽然已经用得得心应手，但仍然没懂这是怎么回事。究其原因，还是数学教学的问题。

我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分，再讲导数，再讲不定积分。先讲定积分，不过千万不能用现在的定积分符号，避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自古就有的积分思想，讲分割求和取极限的方法，自创一套定积分的符号。然后另起炉灶，开始讲微分，讲无穷小，讲变化量。最后才讲到，随着 x 一点一点的增加，曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗？因此，反过来，为了求出一个函数对应的曲线下方的面积，只需要找到一个新函数，使得它的微分正好就是原来那个函数。啪，微积分诞生了。

光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该放到直观理解之后。只可惜，我还没看到哪本课本是这样写的。

说了这么多，其实总结起来只有一句话：我们学习数学的过程，应该和人类认识数学的过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起，学到算术和几何，学到坐标系和微积分，了解每个数学分支创立的动机，以及这个分支曲折的发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈，体会每个全新理论的伟大之处，体会每一次数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉，体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。

可惜，我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。

不过也好。既然没有捷径，那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍，然后自己去体会其中的道理吧。这样看来，我们的教育也没错：先用考试逼着大家把该学的东西都学了，尽管自己也不知道自己学的是啥；等将来的某一天达到一定高度时，回头看看过去学的东西，突然恍然大悟，明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希望有一天能像今天这样，能悟出高等代数究竟在讲什么，能悟出范畴论到底有什么用，能悟出 Riemann 假设为何如此牛 B，能悟出 Hilbert 空间是什么东西，然后把它们都写下来。

这恐怕得花我大半辈子的时间吧。

END

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来源 | matrix67

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普林斯顿大学教授张寿武：中国大学教育扼杀了创新人才苗子

孤烟直  

2018-09-07 05:00   

编者按： 9月3日，国际著名数学家、美国人文与科学学院院士、普林斯顿大学张寿武教授应邀到华中师范大学进行访问讲学。上午，张寿武在数学与统计学院为师生作了一场学术报告。下午张寿武到华师一附中进行访问座谈，与师生交流。9月4日上午，在雄楚国际大酒店，华大在线记者对张寿武进行了一个小时的专访。下面是根据采访录音整理的文字，未经本人审核，也没有做任何删改。



记者：您是第一次来武汉吗？

张寿武：对。我去看了黄鹤楼，但是黄鹤楼不是旧的，我去了新的黄鹤楼，它的历史还是挺有意思的。湖北省博物馆里的历史很震撼，比如编钟和越王剑。湖北的菜很好吃，跟我们家乡的很接近，我是安徽人，这儿的稍微淡一些，又更好一些。

记者：那您对华师有什么印象啊？

张寿武：我跟学生接触不多，但是作报告之前跟系里的不少老师接触了一下，感觉不少老师对做研究还是蛮感兴趣的。我以前不知道华中师范大学，以为就是像每个省一个师范大学那样，后来有人给我解释了“部属”，我才了解“部属”是什么意思。我还到华师一附中去了一下，才知道这儿是一个很棒的人才培养基地。我跟他们交流了很多关于人才培养的事情，所以说这儿是一个很有发展前途的地方，有很多事情要做。我觉得这个地点非常好，人才的才源很好，是没有问题的。我昨天在华师一附中跟他们说，你们培养了这么多人才，一下子稀里糊涂的都送到清华北大去了，你有没有调查一下北大清华是怎么培养你们的学生的。华师这儿有这么多师资，为什么不利用起来呢？我这几天在考虑这个问题，这与我们国家政策是相关的。我们国家进行改革开放，高考制度建立起来之后，当然是不错的，但我们国家对于顶尖性人才的培养还是没找到门路。没找到门路的基本原因是因为起跑阶段比别人晚了大概好几秒时间，所以后面怎么追也追不上。打个比方，一般我们这儿的学生22岁毕业，他的的知识量基本达到19世纪的数学的水平，我们现在是21世纪，有一个世纪跳过了，所以他念研究生的时候基本上要补20世纪的东西，但我们要他做的是21世纪的东西。所以他一年时间内要完成一个世纪数学的浏览，肯定是不行的。这个问题我早就知道，因为我在美国带的学生，基本上是中国最顶尖的学生，清华北大和中科院的。普林斯顿大学在全世界一年招15个学生，中国最多招三个，清华北大中科院，差不多每个学校最多只招一个。所以你把所有学生都放到北大，那我也是只取一个，华师一附中有两个人有机会到我们那儿念书，一个是付伟博（音），是我前年招的，但我不知道他是华师一附中的，他是从中科院到我们那儿去的。另外一个是一个女孩子，叫陈卓（未查到，不清楚名字），是中国第一枚奥数女子金牌。但是很可惜，我把她录取到普林斯顿，她没去，到哈佛去了。她后面的轨迹不是很好，她不知道该念什么东西，就跟不下去了，第一年就休学了，第二年再回来。最近她的老师跟我说，她要去学经济学，不是说这个不好，她耽误了多长时间，如果早一年知道数学是怎么回事，或者经济是这么回事，她一下子就进入了那个领域。现在她的同辈的人已经很有成就了，但她还在那儿摸索着要做什么事情。

在中学教育、高考阶段中，考高分状元不是优秀学生的目的，那只是一个起步。而且一个人要证明自己好的话，高一的时候就知道了，初三我大概就知道我这辈子不用为考大学这个事担忧。研究生毕业的时候，我的老师跟我说，你不用为工作担心，你担心的是你能不能做好工作。对于那些好学生来说，初三考完之后，我要送他们一句话，以后不用为工作担忧，不用为考大学担忧，你要为你自己将来能够做出些什么事情担忧，学生要想的是更广更宽的东西，而不是那么近。你想想看，现代人的社会水准和生活保障比我们以前不知道好了多少，一般的好学生不应当有就业的问题，也不应该有考大学的的问题。上大学无非就是北大清华跟你们学校的关系，这已经是超过了多少人，你拼命提高20分，也就到那儿去了。你到那儿去，其实老师不管你，学校里同样是千百号人，他哪有时间管你。到北大的好处是什么，是所有的好学生都在那儿，所以你的同辈学生水平高，会对你有刺激，学校本身对你没什么刺激。我在北京待着无聊的不得了，谁愿意在北京待着啊，只有两个事情，第一钱多，第二人多，只有这两件事情。钱多人多也表示竞争力高，你在那边竞争力会更大，所以学生要学会分散，找一个地方，有人愿意去帮助他们。我跟双阶（数学与统计学院院长彭双阶）聊了很长时间，觉得他们院里他花了很多精力，确确实实把学生照顾好了，照顾好学生，也照顾好年轻教师的科研，他们还是踏踏实实想做事情的。

记者：短时间里跟他们学院交流，感觉他们的水平怎么样？

张寿武：没到那个层次。但是我也答应，如果他们的老师想到普林斯顿去进修，我可以帮忙。昨天时间太短，就一天时间，一天时间还安排三个活动。如果多一点时间我可以听每一个老师做一个报告，这我以前在其他地方都做过，再多的时候我甚至可以跟学生多交流，下一次再说吧。

记者：另一个问题就是学生学数学，怎样才能学好数学，尤其是在大学里，数学是公共课，很多专业都必须要要学高数。

张寿武：那你是指学好数学要做数学家还是单纯地学好数学，这两个概念完全不一样。

记者：这两个都有。

张寿武：如果想做数学家，你就要想大问题，你一定要对问题本身感兴趣，对数学内容必须要熟悉，数学是活的的。数学在学科里的分类叫做科学和数学，证明科学和数学之间是分开了的，数学内容是可有可无的，内容本身并不重要，主要是要解决问题。现在的年轻人如果要想学数学的话，我想他要知道现在数学家在想什么事情，他要尽早地弄清楚，根据问题本身设计自己，把自己当成一个项目，就像计算机一样。计算机有一个硬盘，装什么东西是自己装，如果你觉得这个东西有用往里放一下，那个东西也放一下，那差不多一个月之内你的硬盘就装满了，里面什么都放下了。我们每个人就是一个硬盘，知识就是放里面的，其实放得越少越好，你要把那些东西放得恰好可以解决那个问题，而且是速度比较快。所以这个没有一个明确的办法。如果只是说想学数学，对于学数学想做什么问题，你却不知道，这就没办法了。通常是学生问一个老师时，老师不告诉他该做什么，他说你先把基础打好，这句话是很糟糕的，为什么呢？这意味着老师教的所有的课你都得学好，现在时间还早所以你要把基础打好，就是说你的硬盘还很空，你可以往里面放，再放，其实数学有些课学不学无所谓。现在数学运算用的差不多都是19世纪的，一个数学分析，一个线性代数，其他的基本上都可以不要，想用的时候再去学，两个星期就学会了。一般任何一门课的基本原理不超过两个星期，但只不过学细了、学会怎么运算要花很长时间，这个是另一回事情。所以这个是我对于想做数学家的人的忠告，一定要小心你要干什么。

对其他专业的的人完全不一样，如果他是学工程、物理专业的，他学的数学必须要很多。因为他要计算，他不能出错，学数学的人错了没关系，无非那篇文章往垃圾桶里一放，但是这些人就不一样了，算错了桥、房子可能就塌了。所以这部分人的数学要学得比较扎实，对他们来说反而要按部就班，把一些重要的东西好好学。在数学里面，有一个问题是这样的，前面的东西不学好，后面的学不了，数学不能回转，它是严格的逻辑概念。一般而言，就是一个生的概念，拿到手上，它不是你的话，你要学到自己能用的地步，这要花很长的过程，那需要做题，那一部分人我觉得他们反而应当要把课堂弄好，反而要好好的做课堂的作业。人的大脑需要消化时间，很多人以为我要使劲做，马上要做好，其实不行。人的大脑就像胃一样，你把所有的都吃进去是不行的，要吃一点东西慢慢消化，过一段时间再来。这种人应该要尽早地选修，早一点选修可能比晚一点选修好，因为这样可以给你的胃多一点消化时间。而且学数学如果愿意把它背后的背景、证明搞清楚，其实是非常有帮助的，证明后对数学的感觉跟不知道证明不一样。

对于文科生来说，他学数学有两个目的，第一要看懂统计数据，读报纸写文章要会用，第二要欣赏数学的的思想。我建议他不要学太多，学一两门，从历史的角度去考虑每个概念是怎么来的，把历史的部分搞清楚，这样才能学会欣赏数学。如果做数学不是用数学的思想去做，而是一直单纯地做题，那做题用的语言跟你平常用的差很多很远。但是后面的的背景很简单，所以可以尽力读一些描述性的数学，取代计算性的数学。先有一个行为的认识，然后再慢慢做那个理性化的消化。这个过程跟那些学物理、工程的人应该反过来，学物理、工程的人应该先学计算，然后慢慢地消化，消化的过程就是想恢复逻辑的过程。学英文、学中文的人其实学数学不用它，他们只是想知道数学家在做什么。所以应该学点数学思想，学点比较好玩的的数学。这样的话，数学系最好一些数学欣赏的课，目的不是为了学到什么。

（彭双阶补充说）每学期我们有开数学鉴赏。

张寿武：或者你可以跟魔术等结合起来。我在美国教微积分教了很长时间，是公共课，课堂里有医学、哲学的或是学英文的学生，比较糟糕。第一次我在课堂上为什么还要证，我一听就知道班里的学生数学是什么水平。后来我说想学数学的人立即从班里出去，不要在里面呆着，我只能教一部分，不想知道证明的学生和想知道证明的学生不能同时教。因为可能一些同学的才能在我这里被磨得一干二净，本来你的水平很高，听完之后一点也没兴趣了。就像你大学选错了课，会把数学兴趣彻底学没了。对一个数学系的人来说，不学证明是难以忍受的。这样的话，你只能背东西。数学不能靠背，要靠理解，那我就要把那部分人赶走，剩下这部分人我教起来就轻松愉快了，我在黑板上写个定理，定理下描述几个例子，大家说这是对的，然后让同学们做作业，给几招，学生说这样很清楚，其实我什么都没教你，逗你玩呢。但在数学系不一样，一上来说要证明，这是一套数学的方式。所以这完全是两套不同数学的的方式。

记者：另外你认为我们中学的数学，从小学初中的到大学的的数学教育跟美国相比存在哪些问题？

张寿武：我不知道有什么问题，其实没有什么问题，我们的教育非常好。数学教育有两面性，艺术性和科学性。如果完全以艺术角度来教数学，是让每个人都觉得数学赏心悦目这。数学本身是一整套逻辑系统，，你不能通过形象语言把它讲清楚，一些该背的还是要背，比如九九乘法表，你有很多绝招，但最快的方法还是背。在西方这个也争论了很长时间，小学二年级的老师，教学生时我是告诉他背呢，还是教他几个绝招？要是我是老师，就是不教绝招，告诉他背。为什么呢？因为你背完之后，它就变成了你身上的一部分，看到七九六十三就是六十三。如果你非要想七个九六十三怎么算，其实是每个九比十差个一然后补一下，就是70剪掉9变成63。但实际上，你没有时间想那个东西，题目出来你没时间去想的。这部分教育，我还是中国的教育还是很好的。小学教育没有出错。我们在教数学的公共知识方面还是比较优越的，我们知道怎么把东西公式化，然后用最简洁的方式交给学生。

但另一个方面，我们欠缺的东西，是我们在激发学生的兴趣方面花的时间少，西方这一方面花的时间多。所以中西方教育教数学，基本上是从两个方面来教的，就像你做饭一样，里面放一点油、放一点盐、但至于放多少，中西方的特点是不一样的。西方可能跟更注重数学的艺术性，导致你去商点店买东西，售货员都不会算，一定要用计算器，七九六十三绝对不相信，一定要用计算器，敲完之后她就相信了，他根本不会算。但是他们出的大师比我们多得多，他们很早就知道对数学的兴趣，开发比我们早，我们这儿老师反而没有耐心。就像一个学生问小学老师一个有趣的问题，他说别问了答案就是这个。

我不觉得我们有欠缺、有问题，我们的问题也是西方人的问题，只不过刚好是两个不同的问题。我们国家大，要改成美国那样肯定是错的，最好的方法是因材施教。教一个班的学生，在要求他们掌握基础方面的东西之后，剩余时间给他们一点兴趣，要引导他们往这一方面发展。中国在这方面，如果你给他一个建议，他老是变成普适性的。比如我们再开一个可数学兴趣课，这样课程数量就增加了，本来我们是说那边减少一点，这边增加一点，中国往往会变成本来有3门，美国2门，我们就变成开5门课了，简单化了。我们谈到素质教育，中国就是简单化了，家长让孩子去学钢琴、学舞蹈。本来其实是这个小孩对钢琴有兴趣，就去学钢琴，但是人们却不管。我家小孩学钢琴，是因为他的自由时间太多，玩电脑的时间比较多，所以让他多学一些。他小学一毕业就是自己想念出来就念什么。这还是像硬盘，里面要有一般空，放多了可能会有一点问题，比如网络上的东西有些其实没有必要去学。我们有个传统的意识叫多学，我觉得这是不对的。

记者：我们想问一下有没有一本书对你影响比较大，比如对你的数学研究，能不能给大学生推荐一下，你认为应该读的好一点的书。

张寿武：没有。一本书没有，一百本书容易，原因是今天的自己是潜移默化出来的。要知道人们读书的风格不一样，有的喜欢漫画，有的喜欢科幻作品；我家老二就喜欢历史，喜欢纪录片。至于我小时候，第一我小时候念书念得少，每天放鸭，看天看得多。第二，我小时候喜欢看中国的古典小说，比如水浒传西游记，红楼梦看不懂，太复杂，三国基本上不喜欢看，里面就是打打闹闹。红楼梦到大学时候看了，看完之后最后总结一句，就是一个富家子弟，一大堆女孩围着他转。我现在觉得最欠缺的地方是，我现在没有时间读小说，我也不知道现在有什么作家，我觉得这是一个很可惜的地方。我过早的时候把所有的精力放在数学方面，我觉得这是不对的，我知道是不对的，但现在也已经没有办法去改变了。我希望自己变成另外一种人，每天晚上睡觉前能读几本小说，读几本历史书，从不同的角度获取灵感。我读了太多关于科学的书，所以我自己坚决不会再建议其他人跟我一样，每天拿个数学书读来读去，做一辈子数学还不够吗？平常的业余时间我喜欢打网球，看电视我也只是看体育频道，我喜欢听音乐，唱唱歌，基本上是这种休闲的方式，基本上没有时间去读书。我倒是希望有时间能够选几本书好好念一念，我到这个年纪喜欢读一些历史。小时候读历史有毛病，长大了读科幻也是有毛病，不过科幻永远是给人灵感的。现在的小说家我不知道，我觉得历史还是蛮有意思的。小时候觉得历史虚无缥缈，长大了觉得有点意思，所以我建议要多读一些书，那是灵感的来源。现实的世界总是很简单的，很多的东西还是在想象中，我们的想象空间远远大于现实空间。数学中有实数和虚数，实数就一个轴，剩下的全是虚数，虚的东西是二维的，实的是一维的，这就表明了虚数有多重要。如果没有虚数，就没法做了，只在一维空间里玩来玩去有什么意思，要进入二维。读书就像进入虚幻世界，可惜我没有时间读。

记者：你建议数学系的学生读什么书，除了数学专业方面的书之外？

张寿武：数学系，我还是不知道他们要学些什么，他们现在要学习中文吧。

（彭双阶）学一点，有大学语文课。

张寿武：没有阅读课吧？

（彭双阶）没有专门的阅读课，大学语文课就是摘几篇文章，从文言文到现代文学呀，跟中学的课本一样。

张寿武：古文欣赏、诗词欣赏，对吧。

（彭双阶）对，找一些名篇看一看。

张寿武：我是80年，小学和初中基本上在家里呆着，初三开始恢复高考，高中就忙忙呼呼地准备高考，大学就想出名，一直往上面走，走到现在基本上是一条“不归路”了。我儿子在美国，两个小孩都是学数学的。家里的书架上的书基本上都是老大的的书，他每天回来带两本，就是小说书之类的的。但他每天回家很奇怪，他把每天读过的书放在桌子上，再读一遍。他真的很喜欢念书和弹钢琴，跟我比他讲话的风格方面就挺不一样的。我真的希望他们读点书，但要找语文老师、历史老师推荐几本。现在大学里有没有推荐的书，比如假期推荐20本书之类的。

（彭双阶）各个学院都有，学生会干部会发email,比如搞个我最想推荐的几本书活动，一般我们会有的。

记者：像文学院、历史学院比较有名的教授会开书单。

张寿武：那就好，听他们的就行了，我们学数学的自己都没念过。

（彭双阶）：想念，真的是没时间念。

张寿武：没时间是个借口，不知道念什么是真的。或者你也给反过来问我们希望中文系的老师、历史老师或者英语老师跟我们说我们假期应该看什么书。

（彭双阶）：我觉得的不要太专业。

张寿武：对，有的搞得太专业了，我看他们给的书单是这样的，完全不对称。它要求所有的同学学数学，学语文，这其实处于不对称状态。基本上我认为我们文学上这方面，和数学相比，走得差的太远，落后太对，这是不应当的。之前我们在国际上处于落后阶段，人的自信心从上到下。人们想，就是因为绝对的科技落后带来军事落后，引起衰败，这是一个很简单的逻辑，所以大学教育基本上是在搞科学教育，如果一个强大的民族应该是反过来的，以记住自己的文化为主要目的。

记者：另外还有个问题，你认为学数学是天赋多一些还是勤奋多一些？

张寿武：对于天赋，我不知道怎么解释天赋，如果就是计算速度比别人快一些，那么这还是非常重要的。这样的话，我相信天赋要多一些。比如看一个学生喜欢不喜欢数学，数学是一个抽象的东西，对一般人很枯燥，天赋就是这些人居然一点都不感觉枯燥。正常的一个人应该喜欢跳跳舞呀，打打球呀，我觉得也是对的，到球场上打球很高兴，你怎么会傻不拉叽地拿一本书啃来啃去。我觉得天赋就是这一方面，这个人居然喜欢数字，，比如小孩小时候一看到数字就很高兴。但我讲的不是智商，我讲的是对数字的特殊喜好，这个是有一点天赋在里面的，有的人对数字敏感，有的人对语言敏感，但很有可能有的人都很敏感，比如张一堂。他对数字敏感的不得了，你给他打个电话，两年后你拿起电话他就知道你是谁，不记下来，他没有本子，完全靠脑子。但是他也喜欢诗词，他一般不说话，喝酒喝到半斤的时候，一说话嘴里全是诗词，俄罗斯文学，他是55年女生的，文学功底和数学功底都很好。

记者：在你看来，数学家是不是很聪明？

张寿武：聪明不敢说，喜欢数字是真的，智商其实差不多。在他范畴之内，他看见数字心里就高兴，看到方程式心里就高兴，就跟你看到文学文章现在高兴一样。每个人心里总有一块地方你觉得很舒畅，我想天赋是这个样子，有些人喜欢数学，另一些人喜欢其他东西，每个人在一辈子能找到自己喜欢的东西这就是天赋。但是你让学数学的人写文章，很多都写不出来，他有别的问题在里面，所以不能认为他聪明，只是刚好对数字敏感。学数学的人比其他人多一些，有一段时间我们认为数学没有意思了，都学完了，但是后来又出现了计算机，然后数学家又开始有饭吃了，如果计算机不发展，该懂的书又都懂了，计算机科学家知道我要的数学，经济学家知道我要的数学，那么要数学家干什么。计算机出来的时候，感觉什么都和计算机有关系，要做模拟，这样数学家一下就有饭吃了。因为计算机科学家做不了这个事情，他每天都想着计算机，不想数字在里面是怎么转的，数学家知道要看什么，计算机学家不知道，他只是把数学家的东西拿来用，他的问题需要数学家来解决，物理学的问题也需要数学家来帮他解决，所有人的问题都需要数学家来解决，所以问题有很多，学的人也多一些。如果不是这样，人们有可能都在家都学中文了。我觉得这个是相对的事情，不要对数学过分地看待，只不过是时代的要求，我们国家工业化进入数字的阶段，是数字时代，这是一个原因。

记者：尤其现在人工智能发展很快，要靠数学。

张寿武：对，是这样。描述一件事情时，文字描述是很重要的，但没办法精确。比如你说有关系，数学并不是说有关系就可以，要说多大关系。你需要统计，把数字拿出来，比如55.5%，有一个精确的数字才能做决策，这是两个不同的东西。但如果缺少文字你就没有了想象力，因为发现关系的这些人有很强的想象力，他们不需要数字，我就感觉今天有事情。从这方面上来说，学文字的人远远高于学数学的人，他们首先要发现现象，学数学的人不过是描述现象。

学数学的人不可能当大官，他看什么事情都很么较真，这样官怎么当呀，别人说这是对的，你马上就反问：对的是什么意思，这是一个很精确的而概念，你是指50%对，25%对，在这种情况下对，在那种情况对，还是别的什么，别人就觉得跟你没办法交流。数学是一切科学的语言，以前是自然科学，现在我觉得是所有科学的语言，精确描述世界需要数学。

记者：现在我们中国的数学研究目前在国际上处于什么水平？

张寿武：这跟我们的教育有关系，一个普通中国人跟一个普通美国人比，数学要好很多，按平均水平来说很高，哪怕是中国的农民跟一个美国的农民比也是这样。我们天生运算速度比较快，但是顶尖的数学家和他们差的很远，差的不是一丁点。我们的教育是平均主义者，这对国家目前的发展没什么问题。我们国家总是山寨东西，确实不需要什么直接就拿来用了。在以前山寨，一年十年，现在一个月，几天就山寨过来用了，所以美国人要制裁中国，因为我们的山寨速度太快了。比如华为在美国买东西，别人刚出来新产品，华为几天就做出来个一摸一样的，价钱是别人的五分之一，谁还敢跟你做生意，所以他们就要制裁。他们的想法是对的，这时候我们就要有创新的东西出来，创新要有创新的人才，这时我们发现我们完全没有，一直在跟着别人。我们山寨别人是，不需要最高的人才，次高的人才有了，山寨水平就够了。不仅是数学还有医药，别人的药我们造不出来。所以我觉得我们顶尖的数学家和科学家跟他们比几乎没有。我能感觉到国家在花大力气培养人才，只是不知道该怎么做。前面我们说培养那些学生，让他们早些进入这个行业，也是为了这个事情，不是给所有人，而是给某些人。比如华师一附中每年招生一千人，可能10个人有这个潜质。他们进入大学阶段，灵感可能就没了，不管拿过奥数金牌还是怎样，四年中后基本上跟我们平常人没什么区别。有人说我教的学生很好，有的是mit教授等等，我就想我不是把一个不聪明的人变得聪明，我是把一个聪明的变成一个笨蛋，这是我的目的，我的目的是不毁人。我从来没想过要教育一个人，如果是一个笨蛋，你怎么把他教育成一个聪明人，他生下来已经定了，但我可以跟他说，硬盘里那里的东西你可以少放点，根据问题的需要放一些好点的东西，我基本上是做这个事情。

记者；你刚才说我们中国有一些小孩可能有很多比较好？

张寿武：但后来可能就没了，被抹杀掉了，有些自以为是专家的人反而是胡说八道，如果你不知道怎么教就不哟教，有一些没被解决的东西你告诉他们，他心里就想原来要解决这个事情，你告诉我我就想办法慢慢去解决，就是这样。因为人学知识是为了解决问题，但我们却从来不告诉他我们装这些知识干嘛。先装吧，装完了再说，但是装完了之后却发现有些东西还不够，但是装进去就拿不出来了。大脑和硬盘不一样，所以学什么东西要特别小心。

记者：我高中是学理科的，初中时我就对数学很感兴趣，但高中时无论我怎么努力也赶不上班上一些学的好的男孩子们，我想问一下在理科这个领域，男生和女生有很大的差异吗？

从生理角度上来讲女孩子比较团结，比如上厕所都要成群结队，男孩子没这回事，所以女孩子比较团结，比较善良，在这种情况下对于竞争有点不适应。比如学数学的女孩更喜欢团体的交流，进入高中之后其实男孩子学习过程也很痛苦，但他受痛苦的能力要强一些，因此做完之后释放也比较粗暴，就是这个题我做出来了，没什么其他感受，但女孩子就会偷偷地乐。因此这一方面吃亏一些，女孩子进入这个领域也要像男孩子一样，做完这道题就说我做出来了，要骄傲。我只是从胜利的角度考虑，我不觉得男孩子跟女孩子在其他方面有本质的区别，智商上没有什么区别，但是如何表达输赢有区别。女孩子比较敏感，做不出来头脑一片空白，会很自责，但男孩子会找出很多理由。这个可以克服，尽量跟女孩子在一起，不要理那些那孩子，不要受他们影响。你可能只是被吓坏了，老是自责，但是男孩子不自责，很少说自己笨，他们不认输。还有女孩子长得漂亮对做出科学是有一些劣势的，一旦漂亮男孩子追求你就要奉承你，所以自己搞不清楚那句是真的。别人夸你，你就糊涂了。所以我们经常说女孩最好不要太漂亮，漂亮之后可能会有别的问题，男孩子太帅也可能有问题。数学领域中杰出的数学家，特别漂亮的人很少。大学时，我们班女孩子有一半，研究生阶段男女比就是10比1了。我们普林斯顿招生，15个人里能找三个就很不错了，女生真的很少。

文字整理：郝雅馨

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本帖最近评分记录

• a59159a 金币 +6 感谢分享，论坛有您更精彩！ 2019-1-14 22:51

kenyoung

发达社会，认定了大部分人都是底层没必要学高深数学，你看看那些ap数学课程还有大学里的数学课程就一点不简单了

wdmjjsw

可以说，国人的数学教育平均水平是不错的，顶尖的那就差得太多了，这也是国情决定的，遗憾的是整个大环境都不允许拔尖的人才留得下来，急功近利的浮躁心态怎会出得了好的成果？

ruili333

中国人聪明也勤奋，但中国的科研制度不合理，严重束缚了人的主观能动性，不然的话中国的科技早就是蓝星第一了

挥棒走天下

瞎扯淡，美国私立学校高中生为了晚上读书用嗑药来提神，数学都学到微积分，不努力的就去社区大学晃悠，或者高中毕业去麦当劳打工，美国可以把中国印度俄罗斯东欧韩国东南亚的数学成绩好的拉去美国留学，给绿卡，中国能行吗。只能从小抓数学，培养人才。这种媒体人，非蠢即坏